矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)

1. 矿井通风网络风量分配及复杂通风网路解算

1.1 风量分配的基本定律

风流在通风网路中流动时,都遵守风量平衡定律、风压平衡定律和阻力定律。它们反映了通风网路中三个最主要通风参数——风量、风压和风阻间的相互关系,是复杂通风网路解算的理论基础。

1)通风阻力定律

井巷中的正常风流一般均为紊流。因此,通风网路中各分支都遵守紊流通风阻力定律,即

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 (1)

2)风量平衡定律

风量平衡定律是指在通风网路中,流入与流出某节点或闭合回路的各分支的风量的代数和等于零,即

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》(2)

若对流入的风量取正值,则流出的风量取负值。

如图1(a)所示,节点⑥处的风量平衡方程为:

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

如图1(b)所示,回路②-④-⑤-⑦-②的风量平衡方程为:

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

1 节点和闭合回路

3)风压平衡定律

风压平衡定律是指在通风网路的任一闭合回路中,各分支的风压(或阻力)的代数和等于零,即

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 (3)

若回路中顺时针流向的分支风压取正值,则逆时针流向的分支风压取负值。

如图1(b)中的回路②-④-⑤-⑦-②,有:

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

当闭合回路中有通风机风压和自然风压作用时,各分支的风压代数和等于该回路中通风机风压与自然风压的代数和,即

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 (4)

式中, 和《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》分别为通风机风压和自然风压,其正负号取法与分支风压的正负号取法相同。

1.2 解算复杂通风网路的方法

复杂通风网路是由众多分支组成的包含串、并、角联在内结构复杂的网路。其各分支风量分配难以直接求解。通过运用风量分配的基本定律建立数学方程式,然后用不同的数学手段,可求解出网路内各分支自然分配的风量。这种以网路结构和分支风阻为条件,求解网路内风量自然分配的过程,称为通风网路解算,也称为自然分风计算。

目前解算通风网路使用较广泛的是回路法,即首先根据风量平衡定律假定初始风量,由回路风压平衡定律推导出风量修正计算式,逐步对风量进行校正,直至风压逐渐平衡,风量接近真值。

下面主要介绍回路法中使用最多的斯考德–恒斯雷法(Hard.Crross算法)。

1)解算通风网路的数学模型

斯考德–恒斯雷法是由英国学者斯考德和恒斯雷对美国学者哈蒂∙克劳斯提出的用于水管网的迭代计算方法进行改进并用于通风网路解算的。

对节点为m、分支为n的通风网路,可选定N=n-m+1个余树枝和独立回路。以余树枝风量为变量,树枝风量可用余树枝风量来表示。根据风压平衡定律,每一个独立回路对应一个方程,这样建立起一个由N个变量和N个方程组成的方程组,求解该方程组的根即可求出 个余树枝的风量,然后求出树枝的风量。

斯考德–恒斯雷法的基本思路是:利用拟定的各分支初始风量,将方程组按泰勒级数展开,舍去二阶以上的高阶量,简化后得出回路风量修正值的一般数学表达式为:

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 (5)

式中《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 ——独立回路中各分支风压(或阻力)的代数和。分支风向与余树枝同向时其风压取正值,反之为负值。

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》——独立回路中各分支风量与风阻乘积的绝对值之和。

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》——独立回路中的通风机风压,其作用的风流方向与余树枝同向时取负值,反之为正值。

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》——独立回路中的自然风压,其作用的风流方向与余树枝同向时取负值,反之为正值。

按公式(5)分别求出各回路的风量修正值 《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》,由此对各回路中的分支风量进行修正,求得风量的近似真实值,即

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 (6)

式中: 《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》分别为修正前后分支风量。 《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》的正负按所修正分支的风向与余树枝同向时取正值,反之取负值。

如此经过多次反复修正,各分支风量接近真值。当达到预定的精度时计算结束。此时所得到的近似风量,即可认为是要求的自然分配的风量。上述公式(5)和(6)即为斯考德–恒斯雷法的迭代计算公式,也称其为哈蒂·克劳斯法(Hard.Crross算法)。

当独立回路中既无通风机又无自然风压作用时,公式(5)可简化为

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 (7)

为便于理解,下面以并联网路来解释回路风量修正值《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》的计算公式。

如图2所示为由两个分支1和2组成的并联网路,其总风量《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》,风阻分别为R1和R2 。设两个分支自然分配的真实风量分别为《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》,拟定的初始风量分别为Q1和Q2 ,则初拟风量与真实风量的差值即为回路风量修正值《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》,必有 《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

根据 《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 ,得 《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

根据《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 ,得:

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

2 并联网路

忽略二次微量《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 ,整理得近似式:

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

将上式写成一般形式,即可得公式(5)与(7):

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

修正风量的计算公式,即公式(6):

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》

2)解算步骤

使用斯考德–恒斯雷法,一般经过以下步骤:

(1)绘制通风网路图,输入网路结构及数据。

(2)给定条件,判断风流方向。

(3)确定独立回路数,选择并确定独立回路的分支构成。

(4)拟定初始风量。通常,先给余树枝赋一组初值,再计算各树枝初始风量。

(5)计算回路风量修正值,及时修正回路中各分支的风量。

(6)检查精度是否满足要求

每修正完一次网路中所有分支的风量,称为迭代一次。每次迭代后应判断是否满足给定的精度要求,当某次迭代中各独立回路风量修正值均小于预定精度ε,迭代计算结束,即

《矿井通风网络解算基本算法之迭代法(Hardy-Cross)》 <ε,1≤i≤N                        (8)

精度ε一般取0.01~0.001m3/s。

(7)计算通风网路总阻力、总风阻。

在斯考德–恒斯雷法中,其核心是每次迭代中各回路风量修正值的计算。按上述步骤编写的计算机解算通风网路的应用软件较多。此外,因该算法的回路修正值可逐个回路独立计算,简化了计算,因而也可以手算。手算时要注意:拟定的初始风量应尽量接近真实风量,以加快计算速度;独立回路中分支的风压和回路风量修正值的符号也可按顺时针流向取正值,逆时针流向取负值确定,通风机风压和自然风压的符号按顺负逆正确定;某分支风量,如在其它回路和后面的计算中再次出现,其风量的取值和风向应以最末一次渐近风量为准,而不再用初始值或前面的渐近值。

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